Question

9．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为7．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得该女子每天织布的量组成了等比数列{a_n}，且其公比q=2，又由她5天共织布5尺，可得S₅=$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{5}）}{1-2}$=5，解可得a₁的值，结合题意，可得S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}$≥20，解可得n的范围，即可得答案．

解答 解：由题意可得：该女子每天织布的量组成了等比数列{a_n}，且其公比q=2，
若她5天共织布5尺，即S₅=5，则$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{5}）}{1-2}$=5，解可得a₁=$\frac{5}{31}$，
若S_n≥20，则有$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}$≥20，即2ⁿ≥125
解可得n≥7，
即若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需7天；
故答案为：7．

点评 本题考查等比数列的前n项和性质，关键是分析题意，将原问题转化为等比数列前n项和问题．