【题目】已知函数,其中实数.
(Ⅰ)判断是否为函数的极值点,并说明理由;
(Ⅱ)若在区间上恒成立,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)是函数的极值点;(Ⅱ) .
【解析】试题分析: (Ⅰ)对函数求导,将代入导函数的分子,可得函数值为0,根据判别式结合验证可得, 1是函数的异号零点,所以是函数的极值点.(Ⅱ)分类讨论参数a, 当时,函数单调递减,所以恒成立;当时,在区间上单调递增,所以,所以不等式不能恒成立.
试题解析:(Ⅰ)由可得函数定义域为.
,
令,经验证,
因为,所以的判别式,
由二次函数性质可得,1是函数的异号零点,
所以是的异号零点,
所以是函数的极值点.
(Ⅱ)已知,
因为,
又因为,所以,
所以当时,在区间上,所以函数单调递减,所以有恒成立;
当时,在区间上,所以函数单调递增,
所以,所以不等式不能恒成立;
所以时,有在区间恒成立.
点睛:本题考查学生的是导数在单调性以及恒成立问题的应用,属于中档题目. 导数与极值点的关系:(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,并且f′(x)在x0两侧异号,若左负右正为极小值点,若左正右负为极大值点;(2)函数f(x)在点x0处取得极值时,它在这点的导数不一定存在,例如函数y=|x|,结合图象,知它在x=0处有极小值,但它在x=0处的导数不存在;(3)f′(x0)=0既不是函数f(x)在x=x0处取得极值的充分条件也不是必要条件.最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验.
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【题目】【2015高考湖北】如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圆C的标准方程为________.
(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:
①=;②-=2;
③+=2.
其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号).
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【题目】Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2an﹣2(n∈N+)
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=3nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】如图所示,正四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.
(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;
(2)若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;
(3)问在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆: ,与轴不重合的直线经过左焦点,且与椭圆相交于, 两点,弦的中点为,直线与椭圆相交于, 两点.
(Ⅰ)若直线的斜率为1,求直线的斜率;
(Ⅱ)是否存在直线,使得成立?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,某公园有三条观光大道围成直角三角形,其中直角边,斜边.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏,所在位置分别记为点.
(1)若甲乙都以每分钟的速度从点出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端
时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲乙两人之间的距离;
(2)设,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍,且,请将甲
乙之间的距离表示为θ的函数,并求甲乙之间的最小距离.
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【题目】如图,甲船以每小时 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距 海里,问乙船每小时航行多少海里?
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【题目】函数f(x)的定义域为D,满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在[ ]D,使得f(x)在[ ]上的值域为[a,b],那么就称函数y=f(x)为“优美函数”,若函数f(x)=logc(cx﹣t)(c>0,c≠1)是“优美函数”,则t的取值范围为( )
A.(0,1)
B.(0, )
C.(﹣∞, )
D.(0, )
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