【题目】如图所示,正四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.
(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;
(2)若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;
(3)问在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.
【答案】(1)∠PMO=60°;(2);(3)F为四等分点
【解析】试题分析:(1)取AD中点M,设PO⊥面ABCD,连MO、PM,则∠PMO为二面角的平面角,设AB=a,则可利用tan∠PAO表示出AO和PO,进而根据求得tan∠PMO的值,则∠PMO可知.
(2)连OE,OE∥PD,∠OEA为异面直线PD与AE所成的角.根据AO⊥BO,AO⊥PO判断出AO⊥平面PBD,进而可推断AO⊥OE,进而可知进而可知∠AEO为直线PD与AE所成角,根据勾股定理求得PD,进而求得OE,则tan∠AEO可求得.
(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连EG、MG.先证出平面PMN和平面PBC垂直,再通过已知条件证出MG⊥平面PBC,取AM中点F,利用EG∥MF,推断出,可知EF∥MG.最后可推断出EF⊥平面PBC.即F为四等分点.
解:(1)取AD中点M,设PO⊥面ABCD,连MO、PM,则∠PMO为二面角的平面角,∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角,,
设,PO=AOtan∠PAO=
,
∴∠PMO=60°.
(2)连OE,OE∥PD,∠OEA为异面直线PD与AE所成的角.
.
∵
∴
(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连EG、MG.
.
又
取AM中点F,∵EG∥MF∴
∴EF∥MG.
∴EF⊥平面PBC.
即F为四等分点
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【题目】某志愿者到某山区小学支教,为了解留守儿童的幸福感,该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷,并用茎叶图表示如下(注:图中幸福指数低于70,说明孩子幸福感弱;幸福指数不低于70,说明孩子幸福感强).
(Ⅰ)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断能否有
的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关?
(Ⅱ)从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样,共抽取5人,又在这5人中随机抽取2人进行家访,求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.
参考公式: ; 附表:
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【题目】已知定义在R的奇函数满足
,且
时,
,下面四种说法①
;②函数
在[-6,-2]上是增函数;③函数
关于直线
对称;④若
,则关于
的方程
在[-8,8]上所有根之和为-8,其中正确的序号__________。
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【题目】如图,已知在多面体ABCDEF中,ABCD为正方形,EF∥平面ABCD,M为FC的中点,AB=2,EF到平面ABCD的距离为2,FC=2.
(1)证明:AF∥平面MBD;
(2)若EF=1,求VF﹣MBE.
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【题目】如图所示,在中,
的中点为
,且
,点
在
的延长线上,且
.固定边
,在平面内移动顶点
,使得圆
与边
,边
的延长线相切,并始终与
的延长线相切于点
,记顶点
的轨迹为曲线
.以
所在直线为
轴,
为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设动直线交曲线
于
两点,且以
为直径的圆经过点
,求
面积的取值范围.
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