Question

已知f（x）=x-

a

x

（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若对[1，+∞）内的一切实x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，把切点横坐标分别代入曲线和直线方程，由纵坐标相等得一关系式，再由切点处的导数等于切线的斜率得另一关系式，联立后求得b的值；
（Ⅱ）把b的值代入函数解析式，把不等式f（x）≥g（x）恒成立分离变量转化为a≤x²-2xlnx恒成立，
构造辅助函数h（x）=x²-2xlnx，利用导数求其最小值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）设点（x₀，y₀）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，
则有2lnx₀+bx₀=2x₀-2      （*）
∵g′(x)=

2

x

+b，
∴

2

x0

+b=2   （**）
联立（*）（**）两式，解得b=0；
（Ⅱ）∵b=0，
∴g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得

a

x

≤x-2lnx，
∵x≥1，
∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x²-2xlnx恒成立．
设h（x）=x²-2xlnx，h′(x)=2x-2(lnx+x•

1

x

)=2x-2lnx-2，
再设m（x）=2x-2lnx-2，
∴当x≥1时，m′（x）＞0，则h′（x）是增函数，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函数，h（x）≥h（1）=1，
∴a≤1，又已知a＞0，
∴0＜a≤1．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法和函数构造法，运用二次求导求函数的最值是解答该题的关键，是压轴题．