Question

设△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且sinAsinC=

3

4

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-2，1），当

m

•

n

取最小值时，判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用等差中项的性质建立a，b和c的关系式，利用正弦定理把边转化成角的正弦，求得sinB的值，进而求得B．
（Ⅱ）对向量积的表达式化简整理，利用二次函数的性质求得当

m

•

n

取最小值时A，进而判断出三角形的形状．

解答： （Ⅰ）∵a，b，c，成等比数列，
∴b²=ac．
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴sin²B=sinAsinC．
又∵sinAsinC=

3

4

．
∴sin²B=

3

4

．
∵sinB＞0，
∴sinB=

3

2

．
∴B=

π

3

或

2π

3

．
又∵a，b，c成等比数列，
∴b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B=

π

3

．
（Ⅱ）∵

m

•

n

=-2cosA+cos2A=2cos2A-2cosA-1，
∴当cosA=

1

2

时，

m

•

n

取得最小值．此时A=

π

3

，
∵B=

π

3

，
∴A=B=C=

π

3

故△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查了正弦定理的运用．在解三角形问题中往往通过正弦定理和余弦定理把角和边的问题互化，进而找到解决问题的突破口．