Question

【题目】已知函数f（x）＝ex（x﹣2）ax2+ax（a∈R）.

（1）当a＝1时，求f（x）的极值；

（2）若f（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f（x）极大值＝﹣2，f（x）极小值＝﹣e；（2）a∈（﹣∞，0）∪{2e}.

【解析】

（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；

（2）显然x＝2是函数f（x）的一个零点，若f（x）恰有两个零点，则只需y＝exax恰有1个零点，问题转化为只需g（x）＝ex和h（x）ax只有1个交点即可，通过讨论a的范围，结合函数的图象判断即可.

（1）a＝1时，f（x）＝ex（x﹣2）x2+x，

f′（x）＝ex（x﹣1）﹣x+1＝（x﹣1）（ex﹣1），

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

故f（x）极大值＝f（0）＝﹣2，f（x）极小值＝f（1）＝﹣e.

（2）f（x）＝ex（x﹣2）ax2+ax＝（x﹣2）（exax），

显然x＝2是函数f（x）的一个零点，若f（x）恰有两个零点，

则只需y＝exax恰有1个零点，

即只需g（x）＝ex和h（x）ax只有1个交点即可，

①a＜0时，如图示：

结合图象，a＜0时g（x）＝ex和h（x）ax只有1个交点，符合题意；

②a＝0时，g（x）＝ex和y＝0无交点，不合题意；

③a＞0时，g（x）＝ex和h（x）ax相切时1个交点，

设切点是P（m，em），则a＝em（i），

emam（ii），由（i）（ii）解得：P（1，e），a＝2e，符合题意，

综上，若f（x）恰有两个零点，则a∈（﹣∞，0）∪{2e}.