Question

已知函数f（x）=

1

2

x2+(

3

4

a2+

1

2a

)   1nx-2ax
（1）当a=-

1

2

时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）在f′（x）的单调区间上也是单调的，求实数a的范围．

Answer 1

（1）当a=-

1

2

时，f（x）=

1

2

x²-

1

16

lnx+x  （x＞0）
由f′（x）=x-

1

16x

+1=

16x2+16x-1

16x

=0，可得x₁=

-2- 5

4

，x₂=

-2+ 5

4

…2′
当（0，

-2+ 5

4

）时，f′（x）＜0，函数单调减，当（

-2+ 5

4

，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调增…3′
∴f（x）在x=

-2+ 5

4

时取极小值…4′
（2）f′（x）=

x2-2ax+ 3 4 a2+ 1 2a

x

（x＞0）…5′
令g（x）=x²-2ax+

3

4

a²+

1

2

a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）…7′
1°、当△≤0时，即0≤a≤2，f′（x）≥0，∴f（x）单调递增，满足题意…9′
2°、当△＞0时  即a＜0或a＞2时
①若x₁＜0＜x₂，则 

3

4

a²+

1

2

a＜0  即-

2

3

＜a＜0时，f（x）在（0，x₂）上单调减，（x₂，+∞上单调增
f′（x）=x+

3 4 a2+ 1 2a

x

-2a，f″（x）=1-

3 4 a2+ 1 2a

x2

≥0，∴f′（x） 在（0，+∞）单调增，不合题意…11′
②若x₁＜x₂＜0，则

3 4 a2+ 1 2 a≥0 a＜0

，即a≤-

2

3

时，f（x）在（0，+∞）上单调增，满足题意．…13′
③若0＜x₁＜x₂，，则

3 4 a2+ 1 2 a＞0 a＞0

，即a＞2时，f（x）在（0，x₁）单调增，（x₁，x₂）单调减，（x₂，+∞）单调增，不合题意…15′
综上得a≤-

2

3

或0≤a≤2．…16′