Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的一点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）如图（1），若$\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PB}$，求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）如图（2），若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
 

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中点M，连接CM，由已知可得：四边形CDAM是正方形，CM=MA=MB，可得AC⊥CB，PC⊥底面ABCD，于是PC⊥AC，即可证明AC⊥平面PBC；即得证
（Ⅱ）连接BD交AC于G，连接GE，可得$\frac{CD}{AB}=\frac{DG}{GB}=\frac{1}{2}$，PE：EB=1：2，即PD∥EG，PD∥平面EAC；
（Ⅲ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量、面EAC的法向量，利用二面角P-A C-E的余弦值，可求a的值，从而可求直线PA与平面EAC所成角的正弦值

解答 解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，连接CM，
∵AM=$\frac{1}{2}$AB=1=CD=AD，AB⊥AD，AB∥CD，
∴四边形CDAM是正方形，CM=MA=MB，∴AC⊥CB，
∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC，又PC∩BC=C，
∴AC⊥平面PBC；又AC?∴面EAC⊥平面PBC．


（Ⅱ）连接BD交AC于G，连接GE，
∵AB∥CD，AB=2CD，∴$\frac{CD}{AB}=\frac{DG}{GB}=\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PB}$，∴PE：EB=1：2，
∴PD∥EG，PD?平面EAC，EG?平面EAC；
∴PD∥平面EAC；
（Ⅲ）如图，以C为原点，取AB中点F，$\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CP}$分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，a），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{a}{2}$）．
设面EAC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=x-y+az=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}=（a，-a，-2）$．
可取面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0）
依题意，|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得a=2．
于是$\overrightarrow{m}$=（2，-2，-2），$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-2）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直、线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．