Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，过右焦点F₂且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△F₁AB为等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 联立方程求出A，B的坐标，结合△F₁AB为等边三角形，建立方程关系，进行求解即可．

解答 解：当x=c时，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
则y²=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，则y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
则A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），F₁（-c，0），
∵△F₁AB为等边三角形，
∴∠AF₁F₂=30°即可，
则tan∠AF₁F₂=tan30°=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即b²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ac，
则c²-a²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ac，
即c²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ac-a²=0，
则e²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$e-1=0，
得e=$\sqrt{3}$，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出交点坐标，结合三角形的边角公式是解决本题的关键．