试题分析:(1)分析哪些点在椭圆上,哪些点在抛物线上,显然
是椭圆的顶点,因此
,从而点
是椭圆上的点,另两点在抛物线上,代入它们的标准方程可求得其方程;(2)
与
的顶点都是
,底在同一直线上,因此基、其面积之比为底的比,即
,这样我们只要求出直线
与已知两曲线相交弦长即可,直线
与曲线
交于两点,其弦长为
,当然由于直线过圆锥曲线的焦点,弦长也可用焦半径公式表示;(3)从题意可看出,只有把
,
求出来,才能得出结论,为了求
,
,我们可设
方程为
,则
方程为
,这样
,
都能用
表示出来,再计算
可得其为定值
,反之若
,我们只能设
方程为
,
方程为
,分别求出
,代入此式,得出
,如果一定能得到
1,则就一定有
,否则就不一定有
.
试题解析:(1)
在椭圆上,
在抛物线上,
:
(4分)
(2)(理)
=
.
是抛物线的焦点,也是椭圆的右焦点,①当直线
的斜率存在时,
设
:
,
,
联立方程
,得
,
时
恒成立.
(也可用焦半径公式得:
) (5分)
联立方程
,得
,
恒成立.
, (6分)
=
. (8分)
②当直线
的斜率不存在时,
:
,
此时,
,
,
=
. (9分)
所以,
的最小值为
. (10分)
(3)(理)证明:①若P、Q分别为长轴和短轴的端点,则
=
.(11分)
②若P、Q都不为长轴和短轴的端点,
设
联立方程
,解得
; (12分)
同理,联立方程
,解得
;
(13分)
反之,对于
上的任意两点
,当
时,
设
,
,易得
;
,
由
得
,
即
,亦即
, (15分)
所以当
为定值
时,
不成立 (16分)
“反之”的方法二:如果有
,且
不在坐标轴上,作
关于坐标轴对称的射线与
交于
,
,显然,
与
不可能同时成立.