Question

【题目】若定义在上，且不恒为零的函数满足：对于任意实数和，总有恒成立，则称为“类余弦型”函数.

（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；

（2）证明：函数为偶函数；

（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，设有理数、满足，判断和大小关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3），理由见解析.

【解析】

（1）令，可求出的值，令可求出的值；

（2）令，代入题中等式得出，可证明出函数为偶函数；

（3）令，证明出，即可说明对任意、且，有，然后设，，、是非负整数，、为正整数，利用偶函数和前面的结论，即可得出和的大小关系.

（1）令，，则有，，.

令，则有，所以，；

（2）令，可得，，

由于函数的定义域为，因此，函数为偶函数；

（3）时，，，

所以，，

令，即对任意的正整数有，

则，

所以，对于任意正整数，成立，

对任意的、且，则有成立，

、为有理数，所以可设，，其中、为非负整数，、为正整数，则，，

令，，，则、为正整数，

，，所以，，即，

函数为偶函数，，，.