已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当时,函数y=f(x)图像上的点都在
所表示的平面区域内,求实数a的取值范围;
(3)求证:(其中
,e是自然数对数的底数)
(1)的单调递增区间为
,单调递减区间为
(2)
(3)见解析
解析试题分析:
(1)函数f(x)是二次与对数的结合,求单调性可以利用导数,以此先求定义域,求导,求导函数大于0与小于0分别求出单调递增与单调递减区间.
(2)要使得函数图象上的点都在
所表示的平面区域内,则当
时,
不等式恒成立即可,即转化了恒成立问题,则只需要
,故考虑对
求导求单调性来确定函数在
上的最大值,因为导函数含有参数a,所以在求解单调性确定最值的过程中需要讨论a的范围,讨论需从两根的大小和0的大小进行分析才能确定
的最值,从而得到a的取值范围.
(3)考虑把不等式两边同时去对数再证明,即证明
,利用对数的乘法公式可以把不等式的左边化解成为不可求和数列的和,在利用利用(2)得到当a=0时,ln(1+x)
是恒成立的,把不可求和数列放缩成为可以裂项求和的数列,裂项利用
,进而证明原不等式.
试题解析:
(1)当时,
(
),
(
), 1分
由解得
,由
解得
.
故函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
. 3分
(2)因函数图象上的点都在
所表示的平面区域内,则当
时,
不等式恒成立,即
恒成立,
设(
),只需
即可. 4分
由,
(ⅰ)当时,
,当
时,
,
函数在
上单调递减,故
成立. 5分
(ⅱ)当时,由
,因
,所以
,
①,即
时,在区间
上,
,则函数
在
上单调递增,
在
上无最大值(或:当
时,
),此时不满足条件;
②若,即
时,函数
在
上单调递减,
在区间上单调递增,同样
在
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数图像上一点
处的切线方程为
(1)求
的值;(2)若方程
在区间
内有两个不等实根,求
的取值范围;(3)令
如果
的图像与
轴交于
两点,
的中点为
,求证:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数..
(1)设曲线处的切线为
,点(1,0)到直线l的距离为
,求a的值;
(2)若对于任意实数恒成立,试确定
的取值范围;
(3)当是否存在实数
处的切线与y轴垂直?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,半径为30的圆形(
为圆心)铁皮上截取一块矩形材料
,其中点
在圆弧上,点
在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以
为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设
与矩形材料的边
的夹角为
,圆柱的体积为
.
(1)求关于
的函数关系式?
(2)求圆柱形罐子体积的最大值.
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