如图,半径为30的圆形(为圆心)铁皮上截取一块矩形材料,其中点在圆弧上,点在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设与矩形材料的边的夹角为,圆柱的体积为.
(1)求关于的函数关系式?
(2)求圆柱形罐子体积的最大值.
(1);(2)
解析试题分析:(1)利用解直角三角形用将OA,AB表示出来,利用OA是圆柱的底面周长,将圆柱的底面半径用表示出来,圆柱的高就是AB,再利用圆柱的体积公式求出圆柱的体积即为所求关于的函数关系式,注意要标明定义域;(2)设sin=,将圆柱形罐子体积化为关于的函数,注意的范围,求出的导数,利用导数求出单调区间,求出的极值,再求出函数的最大值就是圆柱形罐子体积的最大值.
试题解析:(1)
(2)令,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
即当时,体积取得最大值.
【解法2】:(1)连接,在中,设,则
设圆柱底面半径为,则,即,
,其中.
(2)由,得
由解得;由解得.
因此在上是增函数,在上是减函数.
所以当时,有最大值.
考点:1.圆的参数方程;2.圆柱的体积公式;3.利用导数求函数最值;4.运算求解能力.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(e为自然对数的底数).
(1)设曲线处的切线为,若与点(1,0)的距离为,求a的值;
(2)若对于任意实数恒成立,试确定的取值范围;
(3)当上是否存在极值?若存在,请求出极值;若不存在,请说明理由.
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已知函数,.
(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(2)当时,若对,恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,在(1)的条件下,证明当时,对任意两个不相等的正数、,有.
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已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当时,函数y=f(x)图像上的点都在所表示的平面区域内,求实数a的取值范围;
(3)求证:(其中,e是自然数对数的底数)
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已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在函数的图像上,且过点的切线的斜率为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,等差数列的任一项,其中是中所有元素的最小数,,求的通项公式.
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