已知.
(1)当时,求的最大值;
(2)求证:恒成立;
(3)求证:.(参考数据:)
(1)的最大值为0;(2)详见解析;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)设,求导利用单调性即可得其最大值;.
(2)由(1)得,,变形即得左边的不等式:.右边不等式显然不宜直接作差,故考虑作适当的变形.为了证右边,设.求导得.的符号还不能直接确定.为了确定的符号,再设,求导得,所以即由此可知即,从而原命题得证;(3)首先看看所证不等式与第(2)题有何联系.对照待证不等式,可将(2)题中的不等式变形为:.显然取,得.右边易证如下:;左边则应考虑做缩小变形.由于左边为,故将缩为一个等差数列.因为,所以考虑把缩小为.
当时,,这样累加,再用等差数列的求和公式即可使问题得证.
试题解析:(1)设,则
,
所以在区间内单调递减,故的最大值为; (4分)
(2)由(1)得,对,都有,即,
因为,所以. (6分)
设,则
.
设,则,
所以在区间内单调递增,故即.
所以在区间内单调递增,故即,
因为,所以.
从而原命题得证. (9分)
(3)由(2)得,,
令,得.
所以; (11分)
另一方面,当时,,
所以
从而命题得证. (14分)
考点:1、导数及其应用;2、不等式的证明.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,半径为30的圆形(为圆心)铁皮上截取一块矩形材料,其中点在圆弧上,点在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设与矩形材料的边的夹角为,圆柱的体积为.
(1)求关于的函数关系式?
(2)求圆柱形罐子体积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心,在半圆上),设,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2+clnx,且g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为2y-1=0.
(1)求g(x)的解析式;
(2)设函数G(x)=若方程G(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.
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