设函数,,.
(1)若,求的单调递增区间;
(2)若曲线与轴相切于异于原点的一点,且的极小值为,求的值.
(1)证明过程详见解析(2) ,.
解析试题分析:
(1)将条件带入函数解析式消b,得到,对该三次函数求导得到导函数,由于,故该导函数为二次函数,根据题意需要求的该二次函数大于0的解集,因为二次函数含参数,故依次讨论开口,的符号和根的大小,即可到导函数大于0的解集即为原函数的单调增区间.
(2)分析题意,可得该三次函数过原点,根据函数与x轴相切,所以有个极值为0且有一个重根,故可得函数有一个极大值0和一个极小值,有一个重根,则对因式分解会得到完全平方式,即提取x的公因式后,剩下二次式的判别,得到a,b之间的关系式,再根据极小值为,则求导求出极小值点,得到关于a,b的另外一个等式,即可求出a,b的值.
试题解析:
(1),.
令,,
当时,由得.
①当时,的单调递增区间为; 3分
②当时,的单调递增区间为; 5分
③当时,的单调递增区间为. 7分
(2),
依据题意得:,且 ① 9分
,得或 . 11分
因为,所以极小值为,
∴且,得, 13分
代入①式得,. 15分
考点: 含参二次不等式 导数 极值
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数处取得极值2
(1)求函数的表达式;
(2)当满足什么条件时,函数在区间上单调递增?
(3)若为图象上任意一点,直线与的图象相切于点P,求直线的斜率的取值范围
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=m(x-1)2-2x+3+ln x,m≥1.
(1)当m=时,求函数f(x)在区间[1,3]上的极小值;
(2)求证:函数f(x)存在单调递减区间[a,b];
(3)是否存在实数m,使曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
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