设函数
.
（1）若
，求函数
的单调区间；
（2）若函数
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围；
（3）过坐标原点
作曲线
的切线，证明:切点的横坐标为
.
（1）减区间为
,增区间
，（2）
，（3）详见解析.
解析试题分析：（1）利用导数求函数单调性，有四个步骤.一是求出定义域：
，二是求导数
，三是分析导数符号变化情况：
，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为,增区间.（2）已知函数单调性研究参数范围问题，通常转化为恒成立问题. 因为函数在区间上是减函数，所以
对任意
恒成立.而恒成立问题又利用变量分离法解决,即
对任意恒成立. 因此
（3）求切点问题，从设切点
出发，利用切点处导数等于切线斜率列等量关系：
.解这类方程，仍需利用导数分析其单调性，利用零点存在定理解决.
试题解析：解: （1）时, 
， 
， 1分
，
的减区间为,增区间. 3分
（2）
在区间
上是减函数，
对任意恒成立，
即
对任意恒成立， 5分
对任意恒成立，
令
，
， 7分
易知
在单调递减，
.
. 8分
（3）设切点为，
，
切线的斜率
，又切线过原点
，
，
存在性：
满足方程，
所以，是方程的根. 11分
再证唯一性：设
，
，
在
单调递增，且
，
所以方程有唯一解.
综上，切点的横坐标为. 13分
考点：利用导数求函数性质
特高级教师点拨系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形
（如图所示，其中O为圆心，
在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求
的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设函数
，
（1）求函数
的单调区间；
（2）若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若关于
的方程
在区间
上恰好有两个相异的实根，求实数
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形
（如图所示，其中O为圆心，
在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求
的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
(1)求曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程；
(2)若g(x)=f(x)一
有两个不同的极值点．其极小值为M，试比较2M与一3的大小，并说明理由；
(3)设q>p>2，求证：当x∈(p，q)时，
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a>0，a≠1)．
(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；
(3)若存在x1、x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围．
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.
在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
，
，
. 
，求
的单调递增区间；
与
轴相切于异于原点的一点，且
，求
的值.