Question

设函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；   
（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）见解析（2）>e²2（3）a的取值范围是：2－ln4<a≤3－ln9,即2－2ln2<a≤3－2ln3

解析试题分析：（1）确定函数定义域，求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）确定函数在上的单调性，从而可得函数的最大值，不等式，即可求得实数m的取值范围；
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．求导函数，确定函数在区间[0，2]上的单调性，为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，从而可建立不等式，由此可求实数a的取值范围．
试题解析：依题意知，
又因为            1分
（1）令
或x>0，所以f(x)的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）   3分
令
的单调减区间（1，0）和（∞，2）    5分
（2）令（舍）            6分
           8分
因此可得：f(x)<恒成立时，>e²2                        9分
（3）原题可转化为方程=(1+x)－ln(1+x)²在区间[0，2]上恰好有两个相异实根 10分

11分


且2－ln4<3－ln9<1，∴的最大值是1，的最小值是2－ln4    13分
所以在区间[0，2]上原方程恰有两个相异的实根时,实数a的取值范围是：2－ln4<a≤3－ln9,即2－2ln2<a≤3－2ln3                14分
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数与方程的综合运用；3.利用导数求闭区间上函数的最值．