Question

已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间的最小值为，求的值．

Answer 1

（1）当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为；（2）．

解析试题分析：（1）求函数的单调区间，可利用定义，也可利用求导法，本题含有对数函数，可通过求导法来求函数的单调区间，求函数导函数，令，找出分界点，从而确定函数的单调区间，但由于含有参数，需对参数分，，讨论，从而得函数的单调区间；（2）若函数在区间的最小值为，求的值，求出函数在区间的最小值，令它等于为即可，由（1）可知，当时，函数的单调减区间是，的最小值为，解出，验证是否符合，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为，由于不知函数在区间的单调性，需讨论，，，分别求出函数在区间的最小值，令它等于为，解出，验证是否符合，从而得的值．
试题解析：函数的定义域是， ．
（1）（1）当时，，故函数在上单调递减．
（2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减．
（3）当时，令，又因为，解得．
①当时，，所以函数在单调递减．
②当时，，所以函数在单调递增．
综上所述，当时，函数的单调减区间是，
当时，函数的单调减区间是，单调增区间为． 7分
（2）（1）当时，由（1）可知，在上单调递减，
所以的最小值为，解得，舍去．
（2）当