已知是自然对数的底数,函数
.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)当时,函数
的极大值为
,求
的值.
(1)详见解析;(2).
解析试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,先求函数的导数,利用
单调递增,
单调递减,但在解题过程中需讨论a的正负;第二问,利用第一问的结论,函数的单调性,确定函数的极大值在
时取得,将
代入
中得到极大值,列出方程解出a的值,得到结论.
试题解析:(1)函数的定义域为.求导得
3分
当时,令
,解得
,此时函数
的单调递增区间为
; 5分
当时,令
,解得
,此时函数
的单调递增区间为
,
7分
(2)由(1)可知,当时,函数
在区间
上单调递减,在
上单调递增,于是当
时,函数
取到极大值,极大值为
,
故的值为
13分
考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(e为自然对数的底数).
(1)设曲线处的切线为
,若
与点(1,0)的距离为
,求a的值;
(2)若对于任意实数恒成立,试确定
的取值范围;
(3)当上是否存在极值?若存在,请求出极值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心,
在半圆上),设
,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,
.
(1)若曲线在点
处的切线平行于
轴,求
的值;
(2)当时,若对
,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设,在(1)的条件下,证明当
时,对任意两个不相等的正数
、
,有
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当时,函数y=f(x)图像上的点都在
所表示的平面区域内,求实数a的取值范围;
(3)求证:(其中
,e是自然数对数的底数)
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