已知函数(e为自然对数的底数).
(1)设曲线处的切线为
,若
与点(1,0)的距离为
,求a的值;
(2)若对于任意实数恒成立,试确定
的取值范围;
(3)当上是否存在极值?若存在,请求出极值;若不存在,请说明理由.
(1)或
(2)
(3)不存在
解析试题分析:
(1)该问切点横坐标已知,则利用切点在曲线上,带入曲线即可得到切点的纵坐标,对
进行求导并得到在切点处的导函数值即为切线的斜率,有切线的斜率,切线又过切点,利用直线的点斜式即可求的切线的方程,利用点到直线的距离公式结合条件点
到切线的距离为
即可求的参数
的值.
(2)该问为恒成立问题可以考虑分离参数法,即把参数a与x进行分离得到,则
,再利用函数的导函数研究函数
在区间
的最大值,即可求的a的取值范围.
(3)根据极值的定义,函数在区间
有零点且在零点附近的符号不同,求导可得
,设
,求
求导可以得到
的导函数在区间
恒为正数,则函数
在区间
上是单调递增,即可得到函数
进而得到
恒成立,即
在区间
上没有零点,进而函数
没有极值.
试题解析:
(1),
.
在
处的切线斜率为
, 1分
∴切线的方程为
,即
. 3分
又切线与点
距离为
,所以
,
解之得,或
5分
(2)∵对于任意实数恒成立,
∴若,则
为任意实数时,
恒成立; 6分
若恒成立,即
,在
上恒成立, 7分
设则
, 8分
当时,
,则
在
上单调递增;
当时,
,则
在
上单调递减;
所以当时,
取得最大值,
, 9分
所以的取值范围为
.
综上,对于任意实数恒成立的实数
的取值范围为
. 10
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为60海里/小时,甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里,每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比,比例系数为0.5,其余费用为每小时1250元。
(1)把全程运输成本(元)表示为速度
(海里/小时)的函数;
(2)为使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数图像上一点
处的切线方程为
(1)求
的值;(2)若方程
在区间
内有两个不等实根,求
的取值范围;(3)令
如果
的图像与
轴交于
两点,
的中点为
,求证:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心,
在半圆上),设
,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,半径为30的圆形(
为圆心)铁皮上截取一块矩形材料
,其中点
在圆弧上,点
在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以
为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设
与矩形材料的边
的夹角为
,圆柱的体积为
.
(1)求关于
的函数关系式?
(2)求圆柱形罐子体积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心,
在半圆上),设
,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
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