已知函数R).
(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;
(2)在(1)条件下,求函数的单调区间和极值;
(3)当,且时,证明:
(1);(2)详见解析.
解析试题分析:(1)欲求a的值,根据在点(1,f(1))处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.再列出一个等式,最后解方程组即可得.
(2)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,最后求出极值即可.
(3)由(2)知,当a=1时,函数f(x)=,在[1,+∞)上是单调减函数,且f(1)==1,从而证得结论..
试题解析:解:(1)函数
所以又曲线处的切线与直线平行,所以 4分;
(2)令
当x变化时,的变化情况如下表:
由表可知:的单调递增区间是,单调递减区间是+ 0 — 极大值
所以处取得极大值, 8分;
(3)当由于
只需证明
令
因为,所以上单调递增,
当即成立。
故当时,有 12分;
考点:1.利用导数研究函数的极值;2.利用导数研究函数的单调性;3.利用导数研究曲线上某点切线方程.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为60海里/小时,甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里,每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比,比例系数为0.5,其余费用为每小时1250元。
(1)把全程运输成本(元)表示为速度(海里/小时)的函数;
(2)为使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,半径为30的圆形(为圆心)铁皮上截取一块矩形材料,其中点在圆弧上,点在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设与矩形材料的边的夹角为,圆柱的体积为.
(1)求关于的函数关系式?
(2)求圆柱形罐子体积的最大值.
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