已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)设,求在上的最大值;
(3)试证明:对任意,不等式都成立(其中是自然对数的底数).
(1)函数在上单调递增,在上单调递减;
(2)在上的最大值为;
(3)证明过程详见试题解析.
解析试题分析:(1)先对函数求导,令导函数为0,即可求得函数在上单调递增,在上单调递减. (2)结合函数的单调性,分时,时,三种情况进行讨论,即可求在上的最大值;(3) 把证明过程转化为恒成立问题即可.
试题解析:(1)解:(1)函数的定义域是.由已知.令,得.
因为当时,;当时,.
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)可知当,即时,在上单调递增,所以.
当时,在上单调递减,所以.当,即时,.综上所述,
(3)由(1)知当时.所以在时恒有,即,当且仅当时等号成立.因此对任意恒有.因为,,所以,即.因此对任意,不等式.
考点:导函数的应用、最值问题、恒成立问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为.现已知相距18的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为,它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设().
(1)试将表示为的函数; (2)若,且时,取得最小值,试求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一个如图所示的不规则形铁片,其缺口边界是口宽4分米,深2分米(顶点至两端点所在直线的距离)的抛物线形的一部分,现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形.
(1)若保持其缺口宽度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值;
(2)若保持其缺口深度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 平行于直线
4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限,
⑴求P0的坐标;
⑵若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,.
(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(2)当时,若对,恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,在(1)的条件下,证明当时,对任意两个不相等的正数、,有.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com