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已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)设,求上的最大值;
(3)试证明:对任意,不等式都成立(其中是自然对数的底数).

(1)函数上单调递增,在上单调递减;
(2)上的最大值为
(3)证明过程详见试题解析.

解析试题分析:(1)先对函数求导,令导函数为0,即可求得函数在上单调递增,在上单调递减. (2)结合函数的单调性,分时,时,三种情况进行讨论,即可求上的最大值;(3) 把证明过程转化为恒成立问题即可.
试题解析:(1)解:(1)函数的定义域是.由已知.令,得
因为当时,;当时,
所以函数上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)可知当,即时,上单调递增,所以
时,上单调递减,所以.当,即时,.综上所述,
(3)由(1)知当.所以在时恒有,即,当且仅当时等号成立.因此对任意恒有.因为,所以,即.因此对任意,不等式
考点:导函数的应用、最值问题、恒成立问题.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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已知函数.
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