一个如图所示的不规则形铁片,其缺口边界是口宽4分米,深2分米(顶点至两端点所在直线的距离)的抛物线形的一部分,现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形.
(1)若保持其缺口宽度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值;
(2)若保持其缺口深度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值.
(1)6,(2).
解析试题分析:(1)由题意得:保持其缺口宽度不变,需在A,B点处分别作抛物线的切线. 以抛物线顶点为原点,对称轴为轴,建立平面直角坐标系,则
,从而边界曲线的方程为
,
.因为抛物线在点
处的切线斜率
,所以,切线方程为
,与
轴的交点为
.此时梯形的面积
平方分米,即为所求.(2)若保持其缺口深度不变,需使两腰分别为抛物线的切线. 设梯形腰所在直线与抛物线切于
时面积最小.此时,切线方程为
,其与直线
相交于
,与
轴相交于
.此时,梯形的面积
,
.故,当
时,面积有最小值为
.
解:(1)以抛物线顶点为原点,对称轴为轴,建立平面直角坐标系,则
,
从而边界曲线的方程为,
.
因为抛物线在点处的切线斜率
,
所以,切线方程为,与
轴的交点为
.
此时梯形的面积平方分米,即为所求.
(2)设梯形腰所在直线与抛物线切于时面积最小.
此时,切线方程为,
其与直线相交于
,
与轴相交于
.
此时,梯形的面积,
.……11分
(这儿也可以用基本不等式,但是必须交代等号成立的条件)=0,得
,
当时,
单调递减;
当时,
单调递增,
故,当时,面积有最小值为
.
考点:利用导数研究函数最值
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数 ,
.
(1)当 时,求函数
的最小值;
(2)当 时,求证:无论
取何值,直线
均不可能与函数
相切;
(3)是否存在实数,对任意的
,且
,有
恒成立,若存在求出
的取值范围,若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某公司经销某种产品,每件产品的成本为6元,预计当每件产品的售价为元(
)时,一年的销售量为
万件。
(1)求公司一年的利润y(万元)与每件产品的售价x的函数关系;
(2)当每件产品的售价为多少时,公司的一年的利润y最大,求出y最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率与日产量
(件)之间近似地满足关系式
(日产品废品率
).已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润
日正品赢利额
日废品亏损额)
(1)将该车间日利润(千元)表示为日产量
(件)的函数;
(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?
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