据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为.现已知相距18
的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为
,它们连线上任意一点C处的污染指数
等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
(
).
(1)试将表示为
的函数; (2)若
,且
时,
取得最小值,试求
的值.
(1) , (2) 8.
解析试题分析:(1)解实际问题应用题,关键要正确理解题意,正确列出等量关系,注意考虑函数定义域. 设点C受A污染源污染程度为,点C受B污染源污染程度为
,其中
为比例系数,且
.从而点C处受污染程度
.定义域为
(2) 因为
,所以,
,求复杂分式函数最值,通常考虑利用导数求解.
,令
,得
,因此函数在
单调减,在
单调增,即在
时函数取极小值,也是最小值. 又此时
,解得
,经验证符合题意.
解:(1)设点C受A污染源污染程度为,点C受B污染源污染程度为
,其中
为比例系数,且
. 4分
从而点C处受污染程度. 6分
(2)因为,所以,
, 8分
,令
,得
, 12分
又此时,解得
,经验证符合题意.
所以,污染源B的污染强度的值为8. 14分
考点:利用导数求函数值域
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数 ,
.
(1)当 时,求函数
的最小值;
(2)当 时,求证:无论
取何值,直线
均不可能与函数
相切;
(3)是否存在实数,对任意的
,且
,有
恒成立,若存在求出
的取值范围,若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(2013•浙江)已知a∈R,函数f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x3-ax+1.
(1)求x=1时,f(x)取得极值,求a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(3)若对任意m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数
(1)若函数的图象切x轴于点(2,0),求a、b的值;
(2)设函数的图象上任意一点的切线斜率为k,试求
的充要条件;
(3)若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于l,求证
.
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