Question

5．设点O为原点，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，a），其中a是正的常数，点P在线段AB上，且$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AB}$（0≤t≤1），则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值为a²．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$转化为含有t的函数求解．

解答 解：如图，
由题意可得：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=a，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∵$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AB}$（0≤t≤1），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$）=$\overrightarrow{OA}•$（$\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$）
=$\overrightarrow{OA}•$（$\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}-t\overrightarrow{OA}$）=（1-t）${\overrightarrow{OA}}^{2}$+t$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=（1-t）a²，（0≤t≤1）．
∴当t=0时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值为a²．
故答案为：a²．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查函数最值的求法，是中档题．