Question

10．数列{a_n}是公差大于0的等差数列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1），其中已知函数f（x）=x²-4x+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=a_n+5，S_n为数列{b_n}的前n项和，求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列的性质可得a₁+a₃=2a₂=0，代入化简可得x=1（3舍去），求得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得b_n=a_n+5=2n+1，S_n=$\frac{1}{2}$n（2n+4）=n（n+2），$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）数列{a_n}是公差d大于0的等差数列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1），
其中已知函数f（x）=x²-4x+2即为f（x）=（x-2）²-2，
可得a₁+a₃=2a₂=0，
即有（x-1）²-2+（x-3）²-2=0，
解得x=1或3，
由d＞0，可得x=1（3舍去），
则a₁=-2，a₂=0，a₃=2，
即有d=2，a_n=a₁+（n-1）d=2n-4，n∈N*；
（Ⅱ）b_n=a_n+5=2n+1，
S_n=$\frac{1}{2}$n（2n+4）=n（n+2），
$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
可得$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式及求和公式和性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．