Question

（本小题满分12分）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。

（Ⅰ）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求实数的值；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）设常数，求函数的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）（1）当时，

（2）当时，

（3）当时，

（Ⅲ）当时, 函数的最大值是=2+；当时，函数的最大值是=3；

当时, 函数的最大值是

【解析】

试题分析：（1）若函数在区间上是增函数，则函数的最小值为，最大值为，若函数在区间上是减函数，则函数的最小值为，最大值为，（2）若函数在区间上是增函数，则函数在的无最值，但可以说在上的值域为,（3）利用函数的单调性求函数解析式中参数的取值范围，是函数单调性的逆向思维，能够加深对概念性质的理解.

试题解析：（Ⅰ）如果函数在上是减函数，在上是增函数，则，则；

（Ⅱ）在区间递减，在递增，

所以（1）当时，

（2）当时，

（3）当时，

（Ⅲ）∵[1,4], ∴∈[1,2],

=,

当时, 函数的最大值是=2+；

当时，函数的最大值是=3；

当时, 函数的最大值是

考点：函数的单调性及最值.