Question

9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的焦点G与y轴垂直的直线与抛物线C交于点H，且|HF|=2|GH|．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l₁、l₂，分别交C于点A，B和点M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
（3）在（2）的条件下，求△FPQ外接圆面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1，可得焦点G，不妨取G（0，4），把y=4代入抛物线方程可得：4²=2px，解得x_H=$\frac{8}{p}$．由于|HF|=2|GH|，可得$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=2×$\frac{8}{p}$，解得p即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则点P$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$，由题意可设直线l₁d的方程为：y=k（x-2）（k≠0）．与抛物线方程联立化为k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，△＞0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得点P$（2+\frac{4}{{k}^{2}}，\frac{4}{k}）$．由题意可知：直线l₂的斜率为-$\frac{1}{k}$，同理可得Q（2+4k²，-4k）．k≠±1时，直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{\frac{4}{k}+4k}{\frac{4}{{k}^{2}}-4{k}^{2}}$=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，直线PQ的方程为：k（x-6）-（1-k²）y=0，于是直线PQ恒过定点E（6，0），k=±1时，直线PQ也经过点E（6，0）．
（3）由点P$（2+\frac{4}{{k}^{2}}，\frac{4}{k}）$，Q（2+4k²，-4k）．可得：|PQ|²=$\frac{16}{{k}^{4}}+16{k}^{4}-32+\frac{16}{{k}^{2}}+16{k}^{2}+32$≥64．当且仅当k=±1时取等号，此时△FPQ为直角三角形，△FPQ外接圆面积S=$π（\frac{|PQ|}{2}）^{2}$，即可得出最小值．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1，可得焦点G（0，±4），
不妨取G（0，4），把y=4代入抛物线方程可得：4²=2px，解得x_H=$\frac{8}{p}$．
∵|HF|=2|GH|，∴$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=2×$\frac{8}{p}$，p＞0，解得p=4．
∴抛物线C的方程为y²=8x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则点P$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$，
由题意可设直线l₁d的方程为：y=k（x-2）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，化为k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，△=64k²+64＞0，
∵直线l₁交C于两点A，B，∴x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=$\frac{8}{k}$，可得点P$（2+\frac{4}{{k}^{2}}，\frac{4}{k}）$．
由题意可知：直线l₂的斜率为-$\frac{1}{k}$，同理可得Q（2+4k²，-4k）．
k≠±1时，有$2+\frac{4}{{k}^{2}}$≠2+4k²．直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{\frac{4}{k}+4k}{\frac{4}{{k}^{2}}-4{k}^{2}}$=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，
直线PQ的方程为：y+4k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2-4k²），整理为k（x-6）-（1-k²）y=0，于是直线PQ恒过定点E（6，0），
k=±1时，直线PQ的方程为：x=6，也经过点E（6，0）．
综上所述：直线PQ恒过定点E（6，0）．
（3）由点P$（2+\frac{4}{{k}^{2}}，\frac{4}{k}）$，Q（2+4k²，-4k）．
可得：|PQ|²=$[2+\frac{4}{{k}^{2}}-（2+4{k}^{2}）]^{2}$+$（\frac{4}{k}+4k）^{2}$=$\frac{16}{{k}^{4}}+16{k}^{4}-32+\frac{16}{{k}^{2}}+16{k}^{2}+32$$≥2\sqrt{1{6}^{2}}+2\sqrt{1{6}^{2}}$=64．
当且仅当k=±1时取等号，此时△FPQ为直角三角形，
△FPQ外接圆面积S=$π（\frac{|PQ|}{2}）^{2}$=$\frac{π}{4}|PQ{|}^{2}$，
故当|PQ|²取最小值64时，S取得最小值16π．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式、直线与抛物线相交问题、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．