Question

1．已知$\overrightarrow{u}$=（x，y）与向量$\overrightarrow{v}$=（y，2y-x）的对应关系用$\overrightarrow{v}$=f（$\overrightarrow{u}$）表示．
（1）证明：对于任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$及常数m、n，恒有f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$）=mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow{b}$）成立．
（2）设$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（1，0），求向量f（$\overrightarrow{a}$）及f（$\overrightarrow{b}$）的坐标．
（3）求使f（$\overrightarrow{c}$）=（3，5）成立的向量$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （1）设出任意向量的坐标$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$分别计算要证等式的左边的右边，比较计算结果可得等式成立
（2）直接利用题中的对应关系求出 f（$\overrightarrow{a}$）=（1，2-1）=（1，1），f（$\overrightarrow{b}$）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（3）设$\overrightarrow{a}$=（x，y），则 f（$\overrightarrow{a}$）=（y，2y-x）得到方程组，解得即可．

解答 （1）设$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），
∴m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂ ），
∴f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$）=（my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow{b}$）=m（y₁，2y₁-x₁ ）+n（y₂，2y₂-x₂ ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴对于任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$及常数m、n，恒有f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$）=mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow{b}$）成立，
（2）f（$\overrightarrow{a}$）=（1，2-1）=（1，1），f（$\overrightarrow{b}$）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（3）设$\overrightarrow{a}$=（x，y），则 f（$\overrightarrow{a}$）=（y，2y-x），∴$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{2y-x=5}\end{array}\right.$，
∴x=1，y=3，∴$\overrightarrow{c}$（1，3）．

点评 本题考查两个向量坐标形式的运算，以及用待定系数法求向量的坐标．