Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意正整数n，都有a_n=$\frac{3}{4}$S_n+2．
（1）设bn=log₂a_n．求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）在（1）的条件下，设c_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n+1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系及其等比数列的通项公式可得a_n，可得b_n，利用等差数列的定义即可证明；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：∵对任意正整数n，都有a_n=$\frac{3}{4}$S_n+2，
∴当n=1时，a₁=$\frac{3}{4}$a₁+2，解得a₁=8；
当n≥2时，a_n-1=$\frac{3}{4}{S}_{n-1}$+2，可得a_n-a_n-1=$\frac{3}{4}{a}_{n}$，化为a_n=4a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为8，公比为4，
∴${a}_{n}=8×{4}^{n-1}$=2²ⁿ⁺¹．
∴b_n=log₂a_n=2n+1．
∴b_n+1-b_n=2（n+1）+1-（2n+1）=2．
∴数列{b_n}为等差数列，首项为3，公差为2．
（2）解：c_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n+1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n+1}{（2n+1）（2n+3）}$=$（-1）^{n+1}×\frac{1}{4}$$（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$，
当n=2k（k∈N^*）时，数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}$$[（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）$+$（\frac{1}{7}+\frac{1}{9}）$+…-$（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{n}{6（2n+3）}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．