Question

6．已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，且数列{a_n}的前n 项和S _n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2（n≥3）
（1）求证：{a_n}为等差数列；
（2）记数列b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，试归纳数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等差数列的定义即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n+S_n-2=2S_n-1+2（n≥3）知：S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2，
∴a_n=a_n-1+2，∴a_n-a_n-1=2（n≥3）．
又∵a₂-a₁=2，
故a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴{a_n}为等差数列．
（2）由（1）知，${a_n}=2n+1∴{b_n}=\frac{2n+1}{3^n}$，
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=3×\frac{1}{3}+5×\frac{1}{3^2}+…+（{2n+1}）×\frac{1}{3^n}$  ①
$\frac{1}{3}{T_n}=3×\frac{1}{3^2}+5×\frac{1}{3^3}+…+（2n+1）×\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$  ②
①-②得：$\frac{2}{3}{T_n}=3×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{3^2}+2×\frac{1}{3^3}+…+2×\frac{1}{3^n}-（2n+1）×\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$，
∴$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+2（{\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}}）-（2n+1）×\frac{1}{{{3^{n+1}}}}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3^n}-（2n+1）•\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2-（n+2）•\frac{1}{3^n}$．

点评 数列的诸多递推关系中，项与和之间的关系是最基本的，根源性的关系．学生意识不到这种递推关系的形成原因，具体到解题中，往往想不到，用不上；同样，在诸多求和方法中，经典的错位相减法，亦是学生的困难之处．我们应该给学生不断灌输基本的，经典的东西．本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．