Question

11．数列{a_n}的前n项和为S_n，2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{n•（a_n-n）}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*，可得2a₁+a₁=1+2+2，解得a₁．当n≥2时，可得：2a_n+a_n-a_n-1=2n+1，变形为a_n-n=$\frac{1}{3}[{a}_{n-1}-（n-1）]$，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*，∴2a₁+a₁=1+2+2，解得a₁=$\frac{5}{3}$．
当n≥2时，2S_n-1+a_n-1=（n-1）²+2（n-1）+2，可得：2a_n+a_n-a_n-1=2n+1，
化为a_n-n=$\frac{1}{3}[{a}_{n-1}-（n-1）]$，
∴数列{a_n-n}是等比数列，首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$．
∴a_n-n=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
可得a_n=n+2×$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）n•（a_n-n）=$2n×（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴数列{n•（a_n-n）}的前n项和T_n=$2[1×\frac{1}{3}+2×（\frac{1}{3}）^{2}+…+n×（\frac{1}{3}）^{n}]$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=2$[（\frac{1}{3}）^{2}+2×（\frac{1}{3}）^{3}+…+n×（\frac{1}{3}）^{n+1}]$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$2[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n}-n×（\frac{1}{3}）^{n+1}]$，
∴T_n=1+$\frac{1}{3}$+$（\frac{1}{3}）^{2}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n-1}$-n×$（\frac{1}{3}）^{n}$=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$-n×$（\frac{1}{3}）^{n}$=$\frac{3}{2}$-$（n+\frac{3}{2}）$×$（\frac{1}{3}）^{n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．