Question

5．现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．若X表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）．
（1）求X的分布列；
（2）若Y=-λ²X+λ+1，E（Y）＞1，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）X可能的取值为2，3，4，5，6．求出对应的概率，即可得X的分布列；
（2）根据期望的公式进行求解即可．

解答 解：（1）X可能的取值为2，3，4，5，6．
则$P（{X=2}）=\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{1}{12}；P（{X=3}）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{4}$；
$P（{X=4}）=\frac{C_3^2+C_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{3}；P（{X=5}）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{4}$；
$P（{X=6}）=\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{1}{12}$…（5分）
∴X的分布列为：

X	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{12}$

…（7分）
（2）$E（x）=2×\frac{1}{12}+3×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{3}+5×\frac{1}{4}+6×\frac{1}{12}=4$…（9分）
∵Y=-λ²X+λ+1，∴E（Y）=-λ²E（X）+λ+1=-4λ²+λ+1，
∵E（Y）＞1，∴$-4{λ^2}+λ+1⇒0＜λ＜\frac{1}{4}$．
∴实数λ的取值范围是$（{0，\frac{1}{4}}）$…（12分）

点评 本题主要考查离散型随机变量的期望和分布列，求出对应的概率是解决本题的关键．