Question

12．已知f（x）是二次函数，若f（x）的最小值为2，且f（0）=f（2）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[t，t+1]（t∈R）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）可得对称轴为x=1，可设f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，求出a的值即可；
（2）分类讨论f（x）的单调性，根据单调性求出最值．

解答 解：（1）由f（0）=f（2）=3知，对称轴为x=1，又因为最小值为2，
所以设f（x）=a（x-1）²+2，f（0）=3，得a=1，
所以f（x）=（x-1）²+2；
（2）由（1）知，对称轴为x=1，
当t+1≤1时，即t≤0时，$f{（x）_{min}}=f（t+1）={t^2}+2$；
当t＜1＜t+1时，即0＜t＜1时，f（x）_min=f（1）=2；
当t≥1时，$f{（x）_{min}}=f（t）={t^2}-2t+3$；
综上所述，$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}{t^2}+2，\;t≤0\\ 2，\;0＜t＜1\\{t^2}-2t+3，\;t≥1\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，以及二次函数在闭区间上的最值，同考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．