Question

4．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-80{x}^{2}+5040x，x∈[120，144）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-200x+80000，x∈[144，500]}\end{array}\right.$且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
（1）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

Answer 1

分析 （1）设获得利润为f（x）=200x-（$\frac{1}{2}{x}^{2}$-200x+80000）=$-\frac{1}{2}（x-400）^{2}$，x∈[200，300]．再利用二次函数的单调性即可得出．
（2）设每吨的平均处理成本为g（x），
①x∈[120，144）时，g（x）=$\frac{\frac{1}{3}{x}^{3}-80{x}^{2}+5040x}{x}$=$\frac{1}{3}{x}^{2}-80x$+5040=$\frac{1}{3}$（x-120）²+240．利用二次函数的单调性即可得出最小值．
②①x∈[144，500]时，g（x）=$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-200x+80000}{x}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{80000}{x}$-200，利用基本不等式的性质即可得出最小值．

解答 解：（1）设获得利润为f（x）=200x-（$\frac{1}{2}{x}^{2}$-200x+80000）=$-\frac{1}{2}（x-400）^{2}$，x∈[200，300]．
f（200）=-20000，f（3000）=-5000．
∵f（x）在x∈[200，300]上单调递增，∴f（x）∈[-5000，-20000]．
可知不获利，则国家每月至少需要补贴20000元才能使该项目不亏损．
（2）设每吨的平均处理成本为g（x），
①x∈[120，144）时，g（x）=$\frac{\frac{1}{3}{x}^{3}-80{x}^{2}+5040x}{x}$=$\frac{1}{3}{x}^{2}-80x$+5040=$\frac{1}{3}$（x-120）²+240．
可得函数g（x）在x∈[120，144）时单调递增，因此x=120时，g（x）取得最小值，g（120）=240．
②①x∈[144，500]时，g（x）=$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-200x+80000}{x}$=$\frac{x}{2}$+$\frac{80000}{x}$-200≥$2\sqrt{\frac{x}{2}×\frac{80000}{x}}$-200=200．
当且仅当x=200时取等号．
即可得函数g（x）在x∈[144，500]时，x=200时，g（x）取得最小值，g（200）=200．
综上可得：该项目每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

点评 本题考查了二次函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．