Question

14．已知二项式（$\sqrt{5}$x-1）³=a${\;}_{{0}_{\;}}$+a₁x+a₂x²+a₃x³，则（a₀+a₂）²-（a₁+a₃）²=-64．

Answer 1

分析 根据所给的等式，给变量赋值，求出a₀+a₂，a₁+a₃，即可得到所求的值．

解答 解：∵（$\sqrt{5}$x-1）³=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³，
令x=-1，则（-$\sqrt{5}$-1）³=a₀-a₁+a₂-a₃=（a₀+a₂）-（a₁+a₃），…①
令x=1，（$\sqrt{5}$x-1）³=a₀+a₁+a₂+a₃，…②，
解得a₀+a₂=$\frac{（\sqrt{5}-1）^{3}-（\sqrt{5}+1）^{3}}{2}$=-16，
a₁+a₃=$\frac{（\sqrt{5}-1）^{3}+（\sqrt{5}+1）^{3}}{2}$=8$\sqrt{5}$，
（a₀+a₂）²-（a₁+a₃）²=16²-（8$\sqrt{5}$）²=-64．
故答案为：-64．

点评 本题考查二项式定理的性质，考查的是给变量赋值的问题，结合要求的结果，观察所赋得值，属于基础题．