Question

8．已知直线x=2a与双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）相交A，B两点，O为坐标原点，若△AOB是正三角形，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{11}}}{3}$

Answer 1

分析 联立方程求出A，B的坐标，结合三角形是正三角形，建立方程关系求出a，b的关系进行求解即可．

解答 解：当x=2a时，代入双曲线方程得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，
即$\frac{y^2}{b^2}$=4-1=3，则y=±$\sqrt{3}$b，
不妨设A（2a，$\sqrt{3}$b），B（2a，-$\sqrt{3}$b），
∵△AOB是正三角形，
∴tan30°=$\frac{\sqrt{3}b}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则b=$\frac{2}{3}$a，
平方得b²=$\frac{4}{9}$a²=c²-a²，
则$\frac{13}{9}$a²=c²，
则e²=$\frac{13}{9}$，
则e=$\frac{{\sqrt{13}}}{3}$，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程组结合正三角形的关系是解决本题的关键．