Question

3．变量x，y满足不等式$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-a）}^2}+{{（y-a）}^2}≤5}\\{{{（x-a）}^2}-{{（y-a）}^2}≥0}\end{array}}\right.$，其中a为常数，当2x+y的最大值为2时，则a=（　　）

• A． $\frac{7}{3}$
• B． -1
• C． $\frac{7}{3}$或-1
• D． 0

Answer 1

分析 化简不等式组，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：不等式组等价为$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}+（y-a）^{2}≤5}\\{（x+y-2a）（x-y）≥0}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域，则圆心C（a，a），
设z=2x+y则y=-2x+z，
当直线y=-2x+z与圆相切时，截距最大，此时z最大，为2，此时2x+y=2，
由d=$\frac{|2a+a-2|}{\sqrt{4+1}}=\sqrt{5}$，得|3a-2|=5，
则3a-2=5或3a-2=-5，
得a=$\frac{7}{3}$或a=-1
此时C（a，a）在直线2x+y=2的下方，即满足2a+a＜2，
即a＜$\frac{2}{3}$，此时a=$\frac{7}{3}$不满足条件．
故a=-1
故选：B

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线和圆相切的位置关系是解决本题的关键．