Question

20．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x-1）f′（x）≥0，则必有（　　）

• A． f（a）+f（b）＜2f（1）
• B． f（a）+f（b）≤2f（1）
• C． f（a）+f（b）≥2f（1）
• D． f（a）+f（b）＞2f（1）

Answer 1

分析 由不等式，通过分类讨论可以得出f（x）的单调性，即可得出f（a），f（b），f（1）的大小关系．

解答 解：由（x-1）f′（x）≥0可以得知，
若（x-1）f′（x）＞0，则有以下两种情况：
①当x＞1时，有f′（x）＞0；
②当x＜1时，有f′（x）＜0，
∴可以得知当x＞1时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减，
∵a＞b＞1，
∴f（a）＞f（b）＞f（1）
∴f（a）+f（b）＞2f（1），
而当（x-1）f′（x）=0时，可以得知，f（a）=f（b）=f（1），
∴f（a）+f（b）=2f（1），
综上，可得f（a）+f（b）≥2f（1），
故选：C．

点评 本题考查不等式的理解，通过得出f（x）的单调性，考察学生的计算能力，属于中档题．