Question

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝2，DC＝，AA₁＝，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E．

(Ⅰ)求证BD⊥A₁C．

(Ⅱ)求二面角A_1－BD－C₁的大小．

(Ⅲ)求异面直线AD与BC₁所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， 　　∵A1A⊥底面ABCD， 　　∴AC是A1C在平面ABCD上的射影， 　　∵BD⊥AC，∴BD⊥A1C． 　　(Ⅱ)连结A1E、C1E、A1C1． 　　与(Ⅰ)同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1是二面角A1－BD－C1的平面角． 　　∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1＝∠ADC＝90°， 　　又A1D1＝AD＝2，D1C1＝DC＝，AA1＝，且AC⊥BD， 　　∴A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴A1E＝2，C1E＝， 　　在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，∴∠A1EC1＝90°，即二面角A1－BD－C1的大小为90°． 　　(Ⅲ)过B作BF∥AD交AC于F，连结FC1，则∠C1BF就是AD与BC1所成的角． 　　∵AB＝AD＝2，BD⊥AC，AE＝1，∴BF＝2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC， 　　∴FC1＝，BC1＝．在△BFC1中，cosC1BF＝＝． 　　∴∠C1BF＝arccos．即异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos．

提示：

(Ⅰ)应用线面垂直的性质定理． 　　(Ⅱ)容易证明∠A1EC1是所求二面角． 　　(Ⅲ)平移法求异面直线所成角．