Question

6．已知定义域为R的函数f（x）满足：对任意的x∈R，有f（x+2）=2f（x），且当x∈[-1，1]时，$f（x）=\sqrt{1-{x^2}}$，若函数$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lnx\;（x＞0）}\\{{e^x}\;（x≤0）}\end{array}}\right.$，则函数y=f（x）-g（x）在区间[-3，3]上的零点个数是（　　）

• A． 8
• B． 7
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 根据条件关系，求出函数f（x）的表达式，作出f（x）与g（x）的图象，利用数形结合判定两个函数图象的交点即可的结论．

解答 解：∵对任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
若x∈[1，3]，则x-2∈[-1，1]，此时f（x）=2f（x-2）=2$\sqrt{1-（x-2）^{2}}$，
当x∈[-3，-1]，则x+2∈[-1，1]，此时f（x）=f（x+2）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1-（x+2）^{2}}$，
作出函数f（x）与g（x）的图象，
由图象可知，两个图象有6个交点，
即函数y=f（x）-g（x）在区间[-3，3]上零点的个数是6个，
故选：C

点评 此题考查了函数与方程的知识，考查了转化与化归和数形结合的数学思想，由函数的三条基本性质进行分解，从而确定出函数f（x）在[-3，3]上的分段函数解析式，作出函数图象是本题的突破点．难度较大．