Question

1．设函数f（x）=mlnx+（m-1）x．
（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．
（2）当m=1时，试问方程xf（x）-$\frac{x}{{e}^{x}}$=-$\frac{2}{e}$是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，可得函数的最大值，M＞0，所以有mln$\frac{m}{1-m}$-m＞0，解之得m＞$\frac{e}{1+e}$．即可求m的取值范围．
（2）m=1时，方程可化为xlnx=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$．构造函数h（x）=xlnx，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，证明h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即可得出结论．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{（m-1）x+m}{x}$．
当m≤0时，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜$\frac{m}{1-m}$，由f'（x）＜0，得x＞$\frac{m}{1-m}$，
此时f（x）在区间（0，$\frac{m}{1-m}$）内单调递增，在区间（$\frac{m}{1-m}$，+∞）内单调递减．
所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f（$\frac{m}{1-m}$）=mln$\frac{m}{1-m}$-m．
因为M＞0，所以有mln$\frac{m}{1-m}$-m＞0，解之得m＞$\frac{e}{1+e}$．
所以m的取值范围是（$\frac{e}{1+e}$，1）．
（2）m=1时，方程可化为xlnx=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$．
设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，
∴x∈（0，$\frac{1}{e}$），h′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），h′（x）＞0，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
设g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$．g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，
∴g（x）_max=g（1）=-$\frac{1}{e}$，
∵$\frac{1}{e}$≠1，∴h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，
∴方程xf（x）-$\frac{x}{{e}^{x}}$=-$\frac{2}{e}$没有实数根．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查构造函数方法的运用，有难度．