Question

11．若函数f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）在区间（0，1）上有两个零点，则（1+b）c+c²的取值范围是（0，$\frac{1}{16}$）．

Answer 1

分析 若函数f（x）在区间（0，1）上有两个零点，为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0，进而结合基本不等式可得c²+﹙1+b﹚c的范围即可．

解答 解：f（x）=x²+bx+c的两个零点为x₁，x₂，
不妨设为：0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x）=（x-x₁）（x-x₂）．
又f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0
∴c（1+b+c）=f（0）f（1），
而0＜f（0）f（1）=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）＜${（\frac{{x}_{1}+1{-x}_{1}}{2}）}^{2}$${（\frac{{x}_{2}+1{-x}_{2}}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{16}$，
即c（1+b+c）=c²+﹙1+b﹚c＜$\frac{1}{16}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{16}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质，基本不等式的性质，是一道中档题．