Question

某渔业公司年初用49万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用6万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益25万元．

（1）问第几年开始获利？

（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以18万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以9万元出售该渔船．问哪种方案最合算？

 

Answer 1

（1）渔业公司第3年开始获利．（2）方案①较合算.

【解析】

试题分析：（1）由题意列出获利y与年份n的函数关系，然后求解不等式得到n的范围，根据n是正的自然数求得n的值；

（2）用获利除以年份得到年平均获利，利用不等式求出最大值，求出获得的总利润，利用配方法求出获得利润的最大值，求出总获利，比较后即可得到答案．

试题解析：（1）第n年开始获利，设获利为y万元，则

y＝25n－[6n＋×2]－49＝－n2＋20n－49 2分

由y＝－n2＋20n－49＞0得10－＜n＜10＋　4分

又∵n∈N*，∴n＝3，4

∴n＝3时，即该渔业公司第3年开始获利．5分

（2）方案①：年平均获利为＝－n－＋20≤－2＋20＝6（万元）7分

当n＝7时，年平均获利最大，若此时卖出，共获利6×7＋18＝60（万元）8分

方案②：y＝－n2＋20n－49＝－(n－10)2＋51

当且仅当n＝10时，即该渔业公司第10年总额最大，若此时卖出，共获利51＋9＝60万元　 11分

因为两种方案获利相等，但方案②所需的时间长，所以方案①较合算．12分

考点：函数模型的选择及应用;简单的建模思想;利用基本不等式求最值;配方法.