Question

9．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BB₁的中点
（1）求证：B₁D∥平面ACE
（2）求异面直线CE与B₁D所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行转化为线线平行来证明即可．在平面ACE内找一个直线与B₁D平行，连接BD交于O，连接OE，根据三角形中位线即可得证．
（2）由（1）可知B₁D∥OE，异面直线CE与B₁D所成角即为OE与CE所成角，即为∠OEC或补角．利用余弦定理求解．

解答 解：（1）由题意，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，E是BB₁的中点，连接BD交于O，则O是DB的中点，
连接OE，
在三角形DBB₁中，OE∥B₁D，
∵OE?平面ACE．
∴B₁D∥平面ACE．
（2）由（1）可知B₁D∥OE，异面直线CE与B₁D所成角即为OE与CE所成角，
即为∠OEC或补角，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴△OEC是直角三角形．
设AB=CD=a，则OC=OB=$\frac{a\sqrt{2}}{2}$，BE=$\frac{a}{2}$，CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$
∴OE=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
∴cos∠OEC=$\frac{OE}{EC}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

点评 本题考查了线面平行的证明和异面直线所成角的求法．属于基础题．