Question

18．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$，直线l：ρ（cosθ-2sinθ）=12．
（1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出曲线C的普通方程；
（2）设点P在曲线C上，求P点到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）先将ρ（cosθ-2sinθ）=12的左式去括号，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．
（2）先依据点P在曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$，设P（3cosθ，2sinθ），利用点到直线的距离列出函数式，最后求此函数的最小值即可．

解答 解：（1））∵ρ（cosθ-2sinθ）=12，
∴ρcosθ-2ρsinθ=12，
即：x-2y-12=0；x-2y-12=0，
∵曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$，
∴$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）设P（3cosθ，2sinθ），P点到直线l距离为d，
则$d=\frac{|3cosθ-4sinθ-12|}{{\sqrt{5}}}=\frac{|5cos（θ+ϕ）-12|}{{\sqrt{5}}}≥\frac{|7|}{{\sqrt{5}}}=\frac{{7\sqrt{5}}}{5}$，
当且仅当cos（θ+ϕ）=1时取等号（$tanϕ=\frac{4}{3}$），
所以P点到直线l距离的最小值$\frac{{7\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．