Question

7．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}的前n项和为S_n试比较S_n与6的大小．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程即可得到d=q=2，即可得到所求通项公式；
（2）求得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得S_n，再由不等式的性质，即可得到S_n与6的大小．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0，
a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
可得$\left\{\begin{array}{l}{1+2d+{q}^{4}=21}\\{1+4d+{q}^{2}=13}\end{array}\right.$，
解得d=q=2，
则a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1；
（2）$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
S_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+3•（$\frac{1}{2}$）¹+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）^n-2+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
上面两式相减可得，$\frac{1}{2}$S_n=1+2[（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=1+2•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得，S_n=6-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
则S_n＜6．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的求和方法：错位相减法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．