Question

2．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$，若将f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的对称轴及单调增区间；
（3）若对任意x∈[0，$\frac{π}{3}$]，f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的周期和函数的奇偶性确定参数值即可确定函数的解析式；
（2）结合（1）的结论结合正弦函数的性质即可求得最终结果；
（3）分离参数，求得f（x）-1的范围，然后结合对勾函数的性质找到最值，据此即可求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）由$\frac{2π}{ω=2×\frac{π}{2}}$ 可得：ω=2，则 f（x）=sin（2x+φ）+b，
又$g（x）=sin[2（x-\frac{π}{6}）+φ]-b+\sqrt{3}$ 为奇函数，且0＜φ＜π，则$φ=\frac{π}{3}，b=\sqrt{3}$，
故$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}$．
（2）结合（1）的结论可得对称轴满足：$2x+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
据此可得对称轴方程为：$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
函数的增区间满足$2x+\frac{π}{3}∈[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]（k∈Z）$，
故增区间为$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]（k∈Z）$．
（3）由于$x∈[0，\frac{π}{3}]$，故$-\sqrt{3}≤f（x）≤1-\sqrt{3}，-1-\sqrt{3}≤f（x）-1≤-\sqrt{3}$，
而f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0 恒成立，整理可得$m≤\frac{1}{f（x）-1}+f（x）-1$，
由$-1-\sqrt{3}≤f（x）-1≤-\sqrt{3}$，得：$\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}≤\frac{1}{f（x）-1}+f（x）-1≤-\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故$m≤\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}$，即m取值范围是$（-∞，\frac{-1-3\sqrt{3}}{2}）$．

点评 本题考查三角函数的性质，三角函数解析式的求解，恒成立问题，对勾函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．