Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+2且f′（-1）=3，求该函数f（x）在区间[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析 f′（x）=x²-2ax，由f′（-1）=3，可得1+2a=3，解得a=1．f′（x）=x²-2x=x（x-2），令f′（x）=0，解得x，列出表格，利用单调性研究极值与最值即可得出．

解答 解：f′（x）=x²-2ax，∵f′（-1）=3，
∴1+2a=3，解得a=1．
∴f′（x）=x²-2x=x（x-2），
令f′（x）=x（x-2）=0，解得x=0，或2．
列出表格可得：

x	[-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可得：x=0时，函数f（x）取得极大值，f（0）=2．x=2时，函数f（x）取得极小值，f（2）=$\frac{2}{3}$．
又f（-1）=-$\frac{5}{3}$，f（3）=2．
∴最大值为2，最小值为-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了利用单调性研究极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．