Question

3．若函数y=f（x）对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，恒有f（x）＜0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若f（2）=1，解不等式f（-x²）+2f（x）+4＜0．

Answer 1

分析 （1）根据题意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0可得f（0）=0，再由0=f（0）=f（-x+x）=f（-x）+f（x），即可得f（-x）=-f（x），即可得答案；
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，结合f（x+y）=f（x）+f（y）由函数单调性的定义分析可得f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则不等式f（-x²）+2f（x）+4＜0可以转化为为f（-x²+2x+8）＜f（0），即-x²+2x+8＞0，解可得x的范围，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0，可知f（0+0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0．
又0=f（0）=f（-x+x）=f（-x）+f（x），
移项得f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由已知条件，知f（x₂-x₁）＜0，①
又因为f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），②
由①②，知x₂-x₁＞0时，
f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即x₁＜x₂时，f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
由已知条件，知f（8）=2f（4）=4f（2）=4，
∴f（-x²）+2f（x）+4=f（-x²+2x+8），
又f（0）=0，且f（x）在R上为减函数，
所以f（-x²）+2f（x）+4＜0可化为f（-x²+2x+8）＜f（0），即-x²+2x+8＞0，解得-2＜x＜4．
所以不等式的解集为（-2，4）．

点评 本题考查抽象函数的应用，涉及函数的单调性与奇偶性的性质，关键是利用赋值法分析函数的奇偶性与单调性．